RNDr. Marián Olejár
Goniometrické rovnice II. diel zväzok23 – RNDr. Marián Olejár
Lineárne rovnice I.diel zväzok25 – RNDr. Marián Olejár
Kniha obsahuje asi 500 vyriešených príkladov v desiatich kapitolách. Lineárne rovnice je téma, kde učiaci sa stretáva s novým druhom matematických objektov a kde zápisy rovníc sa komplikujú a množia. V knihe sú akceptované tieto zvláštnosti tak, že žiak pri prechode od príkladu k príkladu, od kapitoly ku kapitole na malých odlišnostiach sám spozoruje, ako sa daný typ príkladov rieši. Označenie úprav rovníc čitateľ nájde na druhej strane obálky a listovaním v knihe zistí, ktorý typ sa musí naučiť, aby školské učivo zvládol. Ak sa mu to nedarí, musí prejsť k predchádzajúcim kapitolám, kde nájde jednoduchší typ umožňujúci mu danú úlohu zvládnuť. Aj keď úloha nie je zložitá, je rozumné si zvykať na označovanie úprav v danom riadku v kroku, ktorý chceme urobiť. Prvých päť kapitol obsahuje príklady na elementárne úpravy s riešením po troch - štyroch krokoch. V ďalších kapitolách so zložitejším zadaním si môže učiaci sa zvoliť vlastný postup, spravidla skrátením postupu, ak predtým postupoval krok po kroku. Keďže rôznorodosť lineárnych rovníc a nutnosť ovládať ich riešenia si vyžaduje učivo rozširovať.
Komplexné čísla I.diel zväzok27 – RNDr. Marián Olejár
Je zbierka 252 vyriešených príkladov a obsahuje 8 kapitol. V prvej kapitole sa rozoberá hierarchia čísel počnúc prirodzenými a končiac komplexnými číslami. Sú tu definície pojmov z oblasti komplexných čísel. V druhej kapitole sú príklady na sčítanie komplexných čísel s ich geometrickou konštrukciou. V tretej kapitole ide o odčítanie komplexných čísel a v štvrtej o spojenie oboch operácií. Násobeniu komplexných čísel je venovaná piata kapitola vrátane mocniny imaginárnej jednotky. Kapitola šesť sa zaoberá delením komplexných čísel. V knihe je ukážka grafického násobenia a delenia komplexných čísel. Kapitola sedem je venovaná goniometrickému tvaru komplexného čísla a jeho transformácii na algebraický tvar. Je tam násobenie a delenie komplexných čísel v goniometrickom tvare. Záverečná 8. kapitola je venovaná Moivreovej a binomickej vete a rovnici pre delenie kruhu
Matematika 2 – RNDr. Marián Olejár,Kolektív autorov
Do Matematiky 2 autori zahrnuli často obchádzané témy: matematickú indukciu, výrazy a nerovnice z kombinatoriky, kombinatorika, pravdepodobnosť, limity, inverzné funkcie, z diferenciálneho počtu - prvá derivácia, dotyčnica ku grafu funkcie a na záver slovné úlohy. Výber príkladov je zo zbierok na vysoké školy, ako aj z bežných učebníc.
Logaritmické rovnice I.diel zväzok4 – RNDr. Marián Olejár
Kniha obsahuje 555 vyriešených príkladov. V predslove sa rozoberajú pojmy a vzťahy vedúce k logaritmu a logaritmickej rovnici. V prvom diely je uvedených niekoľko typov logaritmických rovníc tak, aby študent dokázal sám danú problematiku naštudovať. Typ A má tvar loga x = y, kde výpočet robíme pomocou rovnice x = ay. Značné množstvo príkladov umožňuje pochopiť hľadanie neznámeho x pri rôznych známych základoch, ak je dané y. V type B za neznámu volíme základ (logx c = b) a v type C hodnotu logaritmu (loga c = x). Typ D prechádza od tvaru loga (x + h) = b až po tvar loga (p1x + q1) = loga (p2x + q2). Typ F v argumente logaritmu má na ľavej strane kvadratický mnohočlen a na pravej strane začíname od reálneho čísla cez lineárny až po kvadratický mnohočlen. Používaný algoritmus riešenia loga f(x) = loga g(x) z čoho f(x) = g(x) umožňuje prechod od transcendentnej rovnice ku algebraickej, čo vyžaduje (kvôli odmocňovaniu, ...) skúšku, či tak získané korene vyhovujú pôvodnej rovnici. Druhý diel, zväzok 5, pokračuje 250 zložitejšími vyriešenými príkladmi logaritmických rovníc.
Integrály II.diel zväzok26 – RNDr. Marián Olejár
Integrály II. diel sú pokračovaním Integrálov I. diel, Zväzok 7. Integrály II. obsahujú geometrické aplikácie určitého integrálu. V kapitole 7 sa na príkladoch rozoberá ako kladnosť, resp. zápornosť funkcie na danom intervale ovplyvňuje výsledok integrovania. Je tam uvedený klasický príklad integrovania funkcie sin x na troch rozdielnych intervaloch. Ich porovnanie umožňuje všeobecne formulovaný vzorec. Kapitola 8 je venovaná obsahom jednoduchých rovinných útvarov a kapitola 9 obsahuje príklady na výpočet obsahu medzi dvoma funkciami, krivkami alebo čiarami. Príklady na objem rotačných telies sú v kapitole 10 a na dĺžku krivky v kapitole 11. Obsah plášťa rotačného telesa je v kapitole 12. Integrály II. diel obsahujú 100 vyriešených príkladov na 80 stranách. Sú určené pre vysoké školy, pre maturantov a pre prípravu na vysoké školy.
Definičný obor funkcií I.diel zväzok21 – RNDr. Marián Olejár
Zväzok obsahuje 853 vyriešených príkladov. Limity, ako vstupný pojem do diferenciálneho a integrálneho počtu, často robí značné problémy študujúcim. Je to preto, že v zápise a v argumente je veľa položiek, ktoré je potrebné postrehnúť, aby bol výpočet správny. Ak študujúci postupuje od príkladu k príkladu, má možnosť zistiť, že limitou skúmame priebeh funkcie v okolí zadaného bodu (x 0, x 2, x -3, x , atď.). V kapitole 1 sa skúmajú konštantné funkcie, v kapitole 2 sú to tvaru kx, 1/x, v kapitole 3 mocninné funkcie. Kapitola 4 obsahuje limity lineárnej, kvadratickej funkcie, aj funkcií vyšších stupňov. V 5. kapitole sa počítajú limity z podielu dvoch polynómov (mnohočlenov) a ich mocnín. 6. kapitola má stupeň polynomu v čitateli väčší ako v menovateli a v 7. kapitole naopak, stupeň v menovateli je väčší než v čitateli. V kapitole 8 sa využíva rozklad a následné krátenie. V 9. kapitole sa racionalizuje čitateľ alebo menovateľ. 10. kapitola skúma limitné správanie sa trigonometrických funkcií. V druhom diely Limit, zväzok 17, sa riešia trocha zložitejšie úlohy.
Výrazy I. diel zväzok18 – RNDr. Marián Olejár
Kniha obsahuje 980 vyriešených príkladov v desiatich kapitolách. Žiak sa s výrazmi stretáva už od prvého ročníka základnej školy, počas štúdia na strednej a vysokej škole, ale aj počas celoživotnej praxe. Výraz obsahuje číslice (0, 1, 2, ... , 9), konštanty (a, b, c, ...), premenné (x, y, ...), znaky pre operácie (+, -, ...) a zátvorky. V prvej kapitole kladieme dôraz na poradie operácií a použitie zátvoriek. V druhej kapitole spočítavame, odpočítavame a násobíme členy, uvedomujeme si znamienka pri násobení a jednoduché, názorné operácie s mocninami. V tretej kapitole sčítavame a odčítavame rovnaké členy, zlučujeme ich. Pri násobení sa precvičujú pravidlá so znamienkami, mocninami a funkciou zátvoriek. V štvrtej kapitole, čo sa rozširuje aj v piatej kapitole, tam začíname rozvíjať úlohu komutatívneho, asociatívneho a distributivného zákona, násobenie jednotkou a počítanie s nulou. V šiestej kapitole za premenné a, b, x, y dosadzujeme čísla a výrazy vypočítavame. Násobenie dvojčlenných výrazov a výrazov v zátvorkách, nám objasňujú význam vzorcov (a + b)2 = ... , (a - b)2 = ... , a2 - b2 = ... . Počítanie výrazov s použitím troch druhov zátvoriek je predmetom ôsmej kapitoly. Deviata kapitola je venovaná faktorizácii a desiata vynímaniu pred zátvorku.
Exponenciálne rovnice 2 – RNDr. Marián Olejár
Obsahuje 320 vyriešených príkladov a je pokračovaním prvého dielu, zväzok 8. V kapitole šesť upravujeme členy ľavej strany rovnice na jeden základ, pretože na pravej strane je vhodné číslo, ktoré sa dá upraviť na ten istý základ. Pomocou algoritmu: ak sú základy rovnaké, tak sú rovnaké exponenty, získavame riešenie. V kapitole sedem riešime analogické príklady, kde na ľavej strane rovnice sú dva činitele. V ôsmej kapitole máme členy na ľavej aj na pravej strane rovnice s rôznymi základmi. Ak na jednu stranu prenesieme členy s tým istým základom a analogicky aj na druhú stranu s druhým základom, potom po úprave už môžeme využiť vyššie spomínaný algoritmus. V deviatej kapitole exponenciálnu rovnicu transformujeme na kvadratickú, ktorú riešime, pričom nezabúdame na skúšku. V desiatej kapitole riešime exponenciálne rovnice logaritmovaním oboch strán, v jedenástej kapitole využívame zmenu bázy. Príklady v dvanástej kapitole majú logaritmickú funkciu v exponente, v trinástej sú členy pod odmocninou. Riešeniu sústavy dvoch exponenciálnych rovníc o dvoch neznámych je venovaná štrnásta kapitola. pätnásta kapitola obsahuje zmes rôznych príkladov.
Diferenciálne rovnice 1.diel zväzok19 – RNDr. Marián Olejár
Kniha v štyroch kapitolách obsahuje 160 vyriešených príkladov. Diferenciálna rovnica je taká rovnica, ktorá obsahuje derivácie prvého alebo vyšších rádov jednej premennej vzhľadom na druhú premennú. Ak riešime diferenciálnu rovnicu, tak hľadáme takú funkciu, ktorá po dosadení do zadania mu vyhovuje. Keďže integrácia je zložitejšia než derivovanie, preto príklady diferenciálnych rovníc sú zadané tak, aby integrácia bola realizovateľná. Najjednoduchšej, separovanej diferenciálnej rovnici, je venovaná druhá kapitola. Po jednoduchých úpravách, oddelenia premenných, možno integrovaním ľahko nájsť hľadanú funkciu. Tretia kapitola je venovaná separovateľnej diferenciálnej rovnici, kde premenne nie sú oddelené po členoch a vhodnou úpravou sa dajú získať. Po oddelení postupujeme analogicky, ako u separovanej diferenciálnej rovnici. Ďalšia kapitola je opäť venovaná špeciálnemu druhu - obyčajnej lineárnej diferenciálnej rovnici prvého rádu a prvého stupňa. Vhodnou substitúciou ju upravíme do tvaru pre integrovanie. Diferenciálne rovnice sú vhodným nástrojom vedeckého skúmania v rôznych oblastiach vedy a techniky. Zapísať diferenciálnu rovnicu pre daný jav, proces, ... a riešiť ju tak, aby riešenie vypovedalo to a to o danej skutočnosti, je už prvý krok vstupu do originality.
Kužeľosečky 1 Kružnica I.diel zväzok28 – RNDr. Marián Olejár
Zbierka 114 vyriešených príkladov v rozsahu stredoškolského učiva začína klasifikáciou kužeľosečiek. Na úlohy stredového tvaru rovnice kružnice nadväzujú úlohy na všeobecný tvar rovnice kružnice. Transformáciu všeobecného tvaru rovnice kružnice na stredový tvar sa realizuje úpravou na štvorec, kde sa určuje stred a polomer kružnice. V ďalších príkladoch sa zisťuje, či rovnica je vyjadrením kružnice pomocou koeficientov. Kruhu je venovaných niekoľko úloh. Vzájomná poloha priamky kružnice je rozdelená na úlohy o sečnici, ktoré sú riešené pomocou algoritmu dosadenia priamky do kružnice. Pokračuje úlohami o dotyčnici a nesečnici. Ak v rovnici vystupuje parameter, vtedy rozhodujeme o tom, pre aké jeho hodnoty bude rovnica kružnicou. Kapitola kružnica idúca 2-ma a 3-ma bodmi je záverom I. dielu zväzku kružnica.
Olejárová encyklopédia matematiky – RNDr. Marián Olejár
Na 268 stranách obsahuje viac ako 1050 hesiel základných pojmov matematiky abecedne usporiadaných, v dvoch stĺpcoch formátu A5. Štúdium matematiky v najprísnejšej norme či podobe má za cieľ budovať vedecké teórie o pojmových štruktúrach a skúmanie relácií medzi nimi. Človek vyjadrujúci sa o istej oblasti reality presne, to robí jazykom matematiky a logiky. Pri štúdiu niektorej oblasti matematiky, študujúci narazí na pojem z inej oblasti, ktorý si potrebuje ozrejmiť. A na to rýchle zoznámenie sa s pojmom sa sústreďujú krátke encyklopedické heslá. Heslá v Olejárovej encyklopédii matematiky sú usporiadané usporiadane. Pre rýchle vyhľadávanie hesla je na konci knihy register väčšiny hesiel v ktorom sú pri danom hesle odkazy na viaceré strany. To umožňuje rozšíriť, či určiť vzťahy daného pojmu s inými pojmami. Komu je určená encyklopédia? Už žiaci vyšších ročníkov základnej školy nájdu niektoré dôležité poznatky. Stredoškolák a študent prvých semestrov si ozrejmuje heslá všeobecného a miestami aj špeciálneho významu. Pri budovaní vzdelanostnej spoločnosti, každý aktívny človek by mal mať pri ruke encyklopédie a slovníky preto, aby jeho vyjadrovanie malo okrem faktuálneho typu pravdy aj formálny, či matematicky typ pravdy.
Riešené úlohy o spoločnej práci zväzok3 – RNDr. Marián Olejár
Kniha obsahuje 60 algoritmov a 72 vyriešených príkladov. Sú rozdelené do troch častí: súčtový typ, rozdielový typ, rôzne algoritmy. V závere je uvedená typologizácia úloh. Prvá časť je venovaná súčtovému typu úloh a má 6 kapitol: prvá obsahuje úlohy o spoločnej práci pri neznámom trvaní spoločnej práce rovnej 1, druhá rôznej od 1. Tretia, pri neznámom trvaní práce jedného z účastníkov spoločnej práce rovnej 1 a štvrtá kapitola rôznej od 1. Piata kapitola pri neznámom trvaní spoločnej práce rovnej 1 a pri dodatku práce d. A šiesta, rôznej od 1 a pri dodatku d. Druhá časť obsahuje rozdielový typ a má 6 kapitol. Prítokovo-odtokový typ pri neznámom čase plnenia, v prvej kapitole, pre celok =1, v druhej pre časť celku. Tretia kapitola je venovaná neznámemu odtoku pre celok, štvrtá pri neznámom čase vyprázdňovania častí. Piata, pre celok =1 pri rôznych trvaniach plnenia a vyprázdňovania. Šiesta kapitola pre časť pri tom istom trvaní plnenia a vyprázdňovania. Tretia časť knihy obsahuje rôzne algoritmy. Napríklad, rýchlosť výroby krát čas pre súčtový a rozdielový typ. Alebo vhodné použitie vzorca pre prácu A = F s nepriamej úmernosti, trojčlenky, či riešenie sústavy troch rovníc o troch neznámych. V rozboroch sa využíva tabuľka v ktorej sa sprehľadňuje a formalizuje zadanie úlohy.
Populárny slovník modernej fyziky – RNDr. Marián Olejár
Kladie si za úlohu sprístupniť niektoré odborné termíny, či pojmy posledného obdobia fyziky a kozmológie. Tie vďaka internetu, televízii a sci-fi literatúry rýchlo prechádzajú do prirodzených jazykov a udomácňujú sa, čo si vyžaduje kodifikáciu. Úlohou populárnych slovníkov je zložitý pojem či problém vedy zjednodušiť a čo najmenej ho skresliť. Nie je to vždy jednoduchá práca, ak má byť heslo krátke a dostatočne výstižné. Tento slovník obsahuje viac než 330 hesiel s ktorými sa stretáva žiak základnej a strednej školy. Po slovníku siahajú aj odborníci z iných odborov, aby si doplnili svoje poznatky. Tu je potrebné pripomenúť, že množstvo nových pojmov a termínov nie je v slovenčine ani v angličtine jednoznačne definovaná a je závislá od smeru či odboru vedy, ktorý pojem využíva. Na konci slovníka je uvedená axiomatická teória newtonovskej mechaniky n hmotných bodov, prehľad fundamentálnych častíc, fundamentálnych fyzikálnych konštánt, interakcií a elementárnych častíc.
Výrazy II. diel, zväzok 20 – RNDr. Marián Olejár
Sú pokračovaním Výrazov I. diel, zväzok 18. Výrazy II. obsahujú 680 vyriešených príkladov v 8. kapitolách. V kapitole 1 sú na obrázkoch znázornené algebraické vzťahy druhej a tretej mocniny z jednočlena, dvojčlena a trojčlena. Druhá kapitola sa sústreďuje na príklady mocnín dvojčlenov. Rôzne obmeny dosadení čísla, premennej či faktoriálu, umožňujú pochopiť rozličné realizácie druhej mocniny dvojčlena. Kapitola 3 sa zaoberá treťou mocninou dvojčlena a 4. kapitola rozdielom štvorcov. Pochopenie druhej mocniny dvojčlena, úpravy rozdielu štvorcov na súčin, sú dôležité algoritmy, ktoré využívame pri rôznych úpravách v rôznych odvetviach matematiky. 5. kapitola sa sústreďuje na druhé mocniny trojčlena, 6., 7. a 8. kapitola na druhé mocniny zložitejších dvojčlenov. Výrazy a ich úpravy v najrozmanitejšej podobe patria k najdôležitejším schopnostiam a zručnostiam, ktoré musí zvládnuť človek od prvého ročníka základnej školy až po maturitu tak, aby v životných situáciách ich vedel uplatniť. Knihy Výrazy I. a II. diel poskytujú istú časť algoritmov na danú tému.
Limity II. diel zväzok17 – RNDr. Marián Olejár
Je pokračovaním Limit, 1. diel, zväzok 12 a obsahuje ďalších 7 kapitol a 450 vyriešených príkladov. V 1. kapitole sa opakujú niektoré pravidlá a metódy počítania limit z prvého dielu. Kapitola 2 je venovaná výpočtu limit racionalizáciou, kde mocniny z funkcii vhodne odstraňujeme tak, aby sa výpočet vhodne zjednodušil. V kapitole 3 sú príklady obsahujúce exponenciálne funkcie. Definícia Eulerovho čísla e nám umožňuje riešiť limity z racionálnych lomených funkcií, umocnených na inú funkciu ako aj niektoré príklady obsahujúce prirodzený logaritmus (ln). V kapitole 5 sú riešené úlohy s použitím l´Hospitalovho pravidla a v kapitole 6 ide o viacnásobné použitie tohto pravidla, t.j. derivácií z výrazu za znakom limity a tak jej výpočet. Ide o počítanie limit z výrazov, ktoré pri priamom dosadení dávajú hodnoty neurčitých, či nedefinovaných čísel. Kapitola 7 obsahuje počítanie limit obsahujúcich faktoriály.
Kombinatorika I.diel zväzok13 – RNDr. Marián Olejár,Iveta Olejárová
Kniha obsahuje kombinácie bez aj s opakovaním, variácie bez aj s opakovaním a permutácie bez aj s opakovaním v 192 vyriešených príkladoch. Aj keď sa nám na prvý pohľad nezdá, no s kombinatorikou sa každodenne stretávame v praktickom živote niekoľko krát. Povedzme začíname raňajkami, ktoré môžu byť výberom štyroch nápojov (káva, čaj, mlieko, džús), chleba alebo rožkov či žemlí, ktoré môžeme natierať maslom, syrom alebo medom. Pri obliekaní vyberáme z piatich svetrov, štyroch sukní a troch párov topánok. Tieto jednoduché kombinatorické úlohy s neveľkým počtom rozdielnych vecí, opakujúce sa od útleho veku, spravidla učiaci sa nevie tak hravo uplatniť pri kombinatorických úlohách v školskej praxi. Prečo? Možnosti zvládnutia učiva je viacero. V tejto knihe sme vytvorili klasifikačnú schému s podmienkami uvedenými hneď na druhej strane obálky a každú kapitolu sme začali s malým počtom vecí, s obrázkami vymenovaním vecí, či tabuľkami. Skúsenosť ukazuje, že je to vhodná metodika. V prvej časti sa zoznamujeme s kombináciami bez opakovania a s opakovaním, pričom sa snažíme pochopiť klasifikačné podmienky a vzorec pre výpočet. V druhej časti tak isto postupujeme pri variáciách bez opakovania a s opakovaním a v tretej pri permutáciách bez a s opakovaním. Klasifikačná schéma umožňuje riešiť skoro každú stredoškolskú úlohu z kombinatoriky tak, že ju pretransformujeme pre prípad M2(5) z druhej strany obálky.
Derivácie II.diel zväzok16 – RNDr. Marián Olejár
Kniha obsahuje 600 vyriešených príkladov v 6. kapitolách. Na druhej strane obálky je pokračovanie pravidiel derivovania z Derivácii I. diel, zväzok 6, pre zložitejšie prípady. Kapitola jedna obsahuje jednoduché pravidlá z prvého dielu aplikované na vhodných príkladoch. Druhá kapitola je venovaná derivácii zloženej funkcie, kde je asi sto vyriešených príkladov. Deriváciám goniometrických a cyklometrických funkcií je venovaná tretia kapitola s približne 200 vyriešenými príkladmi. Štvrtá kapitola je venovaná deriváciám exponenciálnych a logaritmických funkcií so 185 príkladmi. Piata kapitola obsahuje logaritmické derivovanie so 70 vyriešenými príkladmi. Šiesta kapitola je zmesou rôznych typov príkladov na derivácie. Derivácie I. a II. diel obsahujú okolo 1200 vyriešených príkladov, čo je postačujúci počet na zvládnutie úvodu do diferenciálneho počtu. Príklady sa čítajú a porovnávajú, nasledujúci s predchádzajúcim. Táto metóda učenia je rýchla a pri viacerých opakovaniach úspešná.